已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率e=
2
2
，O為坐標原點，A（a，0），B（0，b），點O到直線AB的距離為
6
3

（1）求橢圓C的方程；
（2）過M（0，2）作傾斜角為銳角的直線l交橢圓C于不同的兩點P，Q，若
MP
=
2
3
MQ
，求直線l的方程．
分析：（1）由A（a，0），B（0，b），知直線AB的方程為bx+ay-ab=0，由點O到直線AB的距離為
6
3
，知
ab
a2+b2
=
6
3
，再由
c
a
=
2
2
，能求出橢圓方程．
（2）設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+2，由
y=kx+2
x2
2
+y2=1
，得（2k2+1）x2+8kx+6=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2=
6
2k2+1
，x1+x2=
-8k
2k2+1
，由M（0，2），
MP
=
2
3
MQ
，知
MP
=（x1，y1-2），
MQ
=(x2，y2-2)，x1=
2
3
x2，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），
∴直線AB的方程為
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay-ab=0，
∵點O到直線AB的距離為
6
3
，∴
ab
a2+b2
=
6
3
，①
∵離心率e=
2
2
，∴
c
a
=
2
2
②
聯(lián)立①②得：a2=2，b2=1，
∴所求橢圓方程為：
x2
2
+y2=1．
（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵M（0，2），
MP
=
2
3
MQ
，
∴
MP
=（x1，y1-2），
MQ
=(x2，y2-2)，
設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+2，
由
y=kx+2
x2
2
+y2=1
，得（2k2+1）x2+8kx+6=0，
∵直線l交橢圓C于不同的兩點P，Q，
∴△=（8k）2-24（2k2+1）＞0，解得k2＞
3
2
．
x1x2=
6
2k2+1
，x1+x2=
-8k
2k2+1
，
∵
MP
=
2
3
MQ
，
MP
=（x1，y1-2），
MQ
=(x2，y2-2)，
∴x1=
2
3
x2，
(x1+x2)2
x1x2
=
32k2
3(2k2+1)
=
25
6
，解得k2=
25
14
，
∴直線l的傾斜角為銳角，∴k=
5
14
14
，
∴直線l的方程為y=
5
14
14
x+2．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離公式和向量知識的合理運用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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