Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；

（2）當(dāng),時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，求函數(shù)的對(duì)稱軸；

（3）若圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)，如果圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得的圖象，又知的所有正根從小到大依次為，，…，…且，求的解析式.

 

Answer 1

（1）①當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723464022903240/SYS201411172346509951836224_DA/SYS201411172346509951836224_DA.002.png"> ； ② 當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723464022903240/SYS201411172346509951836224_DA/SYS201411172346509951836224_DA.004.png">；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）利用正弦函數(shù)的值域和不等式性質(zhì)即可求出的值域，主要要分與0兩種情況；（2）先由對(duì)稱軸過最值點(diǎn)列出關(guān)于的方程，求出，然后將函數(shù)利用設(shè)輔助角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)，再利用求對(duì)稱軸的方法求出對(duì)稱軸；（3）先由設(shè)輔助角公式將函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)，利用過最低點(diǎn)，求出輔助角并將用表示出來，即求出的解析式，再根據(jù)題中的圖像變換求出的解析式，再根據(jù)題中已知條件的所有正根從小到大依次為，，…，…且確定參數(shù)，即可得到的解析式.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723464022903240/SYS201411172346509951836224_DA/SYS201411172346509951836224_DA.002.png"> ② 當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723464022903240/SYS201411172346509951836224_DA/SYS201411172346509951836224_DA.004.png">

（2）當(dāng)，時(shí)，且圖象關(guān)于對(duì)稱。

∴ ∴函數(shù)即：∴ 由

∴函數(shù)的對(duì)稱軸為：

（3）由

（其中，）

由圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)，所以

∴ ∴

又圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得的圖象，則

又∵的所有正根從小到大依次為，，…，…，且

所以與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離相等，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得以下情況：

（1）直線要么過的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).

即或（矛盾），

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的,

直線和相交，且，周期為3（矛盾）

（2）經(jīng)過的對(duì)稱中心

即，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)

直線和相交，且，周期為6（滿足）

綜上：.

考點(diǎn):三角函數(shù)圖像與性質(zhì)；圖像變換；邏輯推理能力