在平面直角坐標(biāo)系中，直線L：y=mx+3-4m，m∈R恒過一定點，且與以原點為圓心的圓C恒有公共點．
（1）求出直線L恒過的定點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)圓C的面積最小時，求圓C的方程；
（3）已知定點Q（-4，3），直線L與（2）中的圓C交于M、N兩點，試問
QM
•
QN
•tan∠MQN是否存在最大值，若存在則求出該最大值，并求出此時直線L的方程，若不存在請說明理由．
分析：（1）直線L：y=mx+3-4m可化簡為y=m（x-4）+3，由此知直線恒過定點T（4，3）．
（2）由題意，要使圓C的面積最小，定點T（4，3）在圓上，由此能求出圓C的方程．
（3）
QM
•
QN
•tan∠MQN=|
QM
||
QN
|•cos∠MQN•tan∠MQN=|
QM
|•|
QN
|•sin∠MQN=2S△MQN．由此能夠?qū)С?span id="bdv5mjm" class="MathJye">
QM
•
QN
×tan∠MQN的最大值和此時直線L的方程．
解答：解：（1）直線L：y=mx+3-4m可化簡為y=m（x-4）+3（2分）
所以直線恒過定點T（4，3）（4分）
（2）由題意，要使圓C的面積最小，定點T（4，3）在圓上，
所以圓C的方程為x2+y2=25．（8分）
（3）
QM
•
QN
•tan∠MQN
=|
QM
||
QN
|•cos∠MQN•tan∠MQN
=|
QM
|•|
QN
|•sin∠MQN=2S△MQN（10分）
由題意得直線L與圓C的一個交點為M（4，3），又知定點Q（-4，3），
直線LMQ：y=3，|MQ|=8，則當(dāng)N（0，-5）時SMQN有最大值32．
即
QM
•
QN
×tan∠MQN有最大值為64，（13分）
此時直線L的方程為2x-y-5=0．（14分）
點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意合理地選用公式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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