Question

解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足： ①對(duì)于任意的x[0，1]，總有f(x)≥0; ②f(1)＝1; ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1＋x2≤1，則有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)． (1) 試求f(0)的值; (2) 試求函數(shù)f(x)的最大值； (3) 試證明：當(dāng)x，nN＋時(shí)，f(x)＜2x．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令x1＝x2＝0，依條件(3)可得f(0＋0)≥2f(0)，即f(0)≤0 又由條件(1)得f(0)≥0故f(0)＝0………………………3分
(2)	解：任取0≤x1<x2≤1可知x2－x1(0，1]，則f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)于是當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有f(x)≤f(1)＝1因此當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最大值1．………8分
(3)	證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x(nN＋)時(shí)，f(x)≤ 10當(dāng)n＝1時(shí)，x，f(x)≤f(1)＝1＝，不等式成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，x，<2x≤1，f(2x)≤1，f(2x)≥f(x)＋f(x)＝2f(x) ∴f(x)≤f(2x)≤不等式成立． 20假設(shè)當(dāng)n＝k(kN＋，k≥2)時(shí)，不等式成立，即x時(shí)，f(x)≤ 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x，記t＝2x，則t＝2x，∴f(t)≤ 而f(t)＝f(2x)≥2f(x)，∴f(x)≤f(2x)＝f(t)≤ 因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由10，20知，當(dāng)x(nN＋)時(shí)，f(x)≤ 又當(dāng)x(nN＋)時(shí)，2x>，此時(shí)f(x)<2x． 綜上所述：當(dāng)x(nN＋)時(shí)，有f(x)<2x．………………………12分