Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=mx--2lnx，y′=，
由于y=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m或者m在[1，+∞）上恒成立，
而0＜≤1，故m≥1或者m≤0，
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(xiàn)（x）=mx--2lnx-，
①當(dāng)m≤0時，由x∈[1，e]得，mx-≤0，-2lnx-＜0，
所以在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）；
②當(dāng)m＞0時，F(xiàn)′（x）=m+-+=，
因為x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，所以F′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x）_max=me--4，只要me--4＞0，解得m＞，
故m的取值范圍是（，+∞）．
分析：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，即y′≥0或y′≤0在[1，+∞）上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值處理；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）-h（x），則在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，等價于x∈[1，e]時，F(xiàn)（x）_max＞0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值問題．
點評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．