Question

9．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，
（Ⅰ）寫出直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換化簡(jiǎn)即可．
（Ⅱ）求出圓的直角坐標(biāo)方程，利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t得直線的普通方程為y=$\sqrt{3}$x，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴ρsinθ=$\sqrt{3}$ρcosθ，
即tanθ=$\sqrt{3}$，則θ=$\frac{π}{3}$，
即直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，即x²+y²-4y=0，
則x²+（y-2）²=4，
圓心（0，2）到直線$\sqrt{3}$x-y=0的距離d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2}{2}=1$，
則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線參數(shù)方程，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，根據(jù)相應(yīng)的轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．