Question

如圖，長方形ABCD的長AD=2x，寬AB=x（x≥1），線段MN的長度為1，端點(diǎn)M、N在長方形ABCD的四邊上滑動(dòng)，當(dāng)M、N沿長方形的四邊滑動(dòng)一周時(shí)，線段MN的中點(diǎn)P所形成的軌跡為G，記G的周長與G圍成的面積數(shù)值的差為y，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致為（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：根據(jù)條件確定點(diǎn)P，對(duì)應(yīng)的軌跡，然后求出相應(yīng)的周長和面積，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行判斷圖象即可．

解答：解：∵線段MN的長度為1，線段MN的中點(diǎn)P，
∴AP=

1

2

MN=

1

2

，
即P的軌跡是分別以A，B，C，D為圓心，半徑為

1

2

的4個(gè)

1

4

圓，以及線段GH，F(xiàn)E，RT，LK，部分．
∴G的周長等于四個(gè)圓弧長加上線段GH，F(xiàn)E，RT，LK的長，
即周長=2π×

1

2

+2(2x-

1

2

-

1

2

)+2(x-

1

2

-

1

2

)=π+4x-2+2x-2=6x+π-4，
面積為矩形的面積減去4個(gè)

1

4

圓的面積，即等于矩形的面積減去一個(gè)整圓的面積
為2x•x-π×(

1

2

)2=2x2-

π

4

，
∴f（x）=6x+π-4-(2x2-

π

4

)=-2x2+6x+

5π

4

-4，是一個(gè)開口向下的拋物線，
∴對(duì)應(yīng)的圖象為C，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)條件確定點(diǎn)P的軌跡是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．