Question

已知函數f(x)=

1

2x-1

+

1

2

（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷的奇偶性并予以證明．

Answer 1

分析：（1）要使函數f(x)=

1

2x-1

+

1

2

的解析式有意義，則2^x-1≠0，解不等式可求出函數的解析式；
（2）根據函數的定義域關于原點對稱，分析f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，可得答案．

解答：解：（1）要使函數f(x)=

1

2x-1

+

1

2

的解析式有意義
則2^x-1≠0
即x≠0
∴f（x）的定義域為{x|x≠0}…（4分）
（2）函數f（x）為奇函數．                                     …（6分）
證明如下：f(-x)=

1

2-x-1

+

1

2

=

2x

1-2x

+

1

2

=-

(2x-1)+1

2x-1

+

1

2

=-

1

2x-1

-

1

2

=-f（x）…（12分）
故函數f（x）為奇函數．                       …（13分）
（或者利用：f(-x)+f(x)=

1

2-x-1

+

1

2

+

1

2x-1

+

1

2

=

2x

1-2x

+

1

2x-1

+1=0也可．）

點評：本題考查的知識點是函數的定義域及奇偶性判斷，熟練掌握函數奇偶性的定義及判定方法是解答的關鍵．