Question

橢圓

x2

9

+

y2

2

=1的焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P在橢圓上，若|PF₁|=4，則∠F₁PF₂的大小為

2π

3

，△F₁PF₂的面積為

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程，可得a=3，b=

2

，c=

a2-b2

=

7

．由橢圓的定義，得|PF₂|=2a-|PF₁|=2，在△PF₁F₂中利用余弦定理，可算出∠F₁PF₂=

2π

3

，最后由正弦定理的面積公式，可得△F₁PF₂的面積．

解答：解：∵橢圓的方程為

x2

9

+

y2

2

=1，
∴a²=9，b²=2，可得a=3，b=

2

，c=

a2-b2

=

7

∵|PF₁|=4，|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-|PF₁|=2
△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c=2

7

，
∴cos∠F₁PF₂=

42+22-(2 7 )2

2×4×2

=-

1

2

∵∠F₁PF₂∈（0，π），∴∠F₁PF₂=

2π

3

由正弦定理的面積公式，得△F₁PF₂的面積為S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin

2π

3

=2

3

故答案為：

2π

3

，2

3

點評：本題給出橢圓的焦點三角形△PF₁F₂，求∠F₁PF₂的大小并求面積，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、利用正余弦定理解三角形等知識點，屬于基礎(chǔ)題．