Question

11．已知正實數(shù)x，y，且xy=1，求$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 由基本不等式可得x+y≥2，從而化簡$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$=$\frac{x+y}{x+y+2}$=1-$\frac{2}{x+y+2}$，從而求得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且xy=1，
∴x+y≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時，等號成立）；
故$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$=$\frac{x+y}{x+y+2}$=1-$\frac{2}{x+y+2}$，
又∵0＜$\frac{2}{x+y+2}$≤$\frac{2}{2+2}$=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$≤$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$＜1．

點評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用及分離常數(shù)法的應(yīng)用．