Question

 如圖, 在平面內(nèi)直線EF與線段AB相交于C點(diǎn), ∠BCF＝, 且

AC = CB = 4, 將此平面沿直線EF折成的二面角－EF－, BP⊥平面, 點(diǎn)P

為垂足.

(Ⅰ) 求△ACP的面積;

(Ⅱ) 求異面直線AB與EF所成角的正切值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系, 空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力。滿分15分。

方法一:

(Ⅰ)  解: 如圖, 在平面內(nèi), 過點(diǎn)P作PM⊥EF, 點(diǎn)M為垂足, 連結(jié)BM, 則∠BMP為二面角－EF－的平面角. 以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn), 以直線PM為x軸, 射線PB為z軸的正半軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz.

      在Rt△BMC中,

由∠BCM＝, CB = 4, 得       

         CM =, BM =2.

在Rt△BMP中,

由∠BMP＝, BM =2, 得

         MP = 1, BP =.

故P(0,0,0), B(0, 0,), C(－1,－, 0), M(－1,0,0).

由∠ACM＝, 得

A(1,－4, 0).

所以= (1,,0), = (2,－,0),

則    －10,

cos∠ACP = －,

sin∠ACP = .

因此S△ACP＝.                          …………………(7分)

(Ⅱ)  解:＝(1,－4,－), ＝(0,－2,0),

               24,

               cos<>=,

所以AB與EF所成角的正切值為.         …………………(15分)

方法二:

(Ⅰ)  解: 如圖, 在平面內(nèi), 過點(diǎn)P作PM⊥EF, 點(diǎn)M為垂足,

連結(jié)BM, 則∠BMP為二面角－EF－的平面角.

在Rt△BMC中,

由∠BCM＝, CB = 4, 得

        CM =, BM=2.

在Rt△BMP中,

由∠BMP＝, BM=2, 得

MP=1.

       在Rt△CMP中,

由CM =, MP=1, 得

CP=,  cos∠PCM＝,  sin∠PCM =.

故 sin∠ACP = sin(－∠PCM)＝.

所以S△ACP＝.                          …………………(7分)

(Ⅱ) 解: 如圖, 過點(diǎn)A作AQ∥EF, 交MP于點(diǎn)Q ,

則∠BAQ是AB與EF所成的角, 且AQ⊥平面BMQ .

在△BMQ中,

由∠BMQ＝, BM＝MQ＝2, 得

              BQ = 2.

在Rt△BAQ中,

        由AQ＝AC＋CM ＝4, BQ = 2, 得

              tan∠BAQ =.

因此AB與EF所成角的正切值為.         …………………(15分)