Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax²+1
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間及f（x）得最大值；
（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定義域上是單調函數(shù)，求實數(shù)a得取值范圍；
（3）試比較

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

與

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）得大�。�

Answer 1

分析：（1）當a=1時，求出導數(shù)f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得單調區(qū)間，由單調性可得函數(shù)最大值；
（2）求出導數(shù)g′（x），分情況討論：若g（x）在定義域上單調遞增，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；若g（x）在定義域上單調遞減，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，然后分離出參數(shù)a后轉化為函數(shù)最值解決；
（3）由（1）可得不等式a=1時f（x）≤f（1），可得當x＞1時，

2

x2-1

＜

1

lnx

，則n≥2時，

1

lnn

＞

2

n2-1

=

1

n-1

-

1

n+1

，分別令n=2，3，…，n可得n-1個不等式，相加后化簡即可得到結論；

解答：解：（1）當a=1時，f′（x）=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

（x＞0），
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），
且當x=1時f（x）取得最大值f（1）=0；
（2）g（x）=2lnx-ax²+1+x，g′（x）=

2

x

-2ax+1=

-2ax2+x+2

x

（x＞0），
若g（x）在定義域上單調遞增，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即-2ax²+x+2≥0恒成立，
也即2a≤

2

x2

+

1

x

恒成立，而

2

x2

+

1

x

=2(

1

x

+

1

4

)2-

1

8

＞0，
所以2a≤0，即a≤0；
若g（x）在定義域上單調遞減，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2a≥

2

x2

+

1

x

恒成立，
因為

2

x2

+

1

x

=2(

1

x

+

1

4

)2-

1

8

＞0，所以此時不等式g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
綜上，a的取值范圍是a≤0；
（3）

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2），證明如下：
由（1）知2lnx-x²+1≤0，即2lnx≤x²-1（x=1時取等號），
則當x＞1時，

2

x2-1

＜

1

lnx

，
所以n≥2時，

1

lnn

＞

2

n2-1

=

1

n-1

-

1

n+1

，
所以

1

ln2

＞1-

1

3

，

1

ln3

＞

1

2

-

1

4

，

1

ln4

＞

1

3

-

1

5

，…，

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+1

，
以上各式相加得，

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

，
所以

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，（3）的解決關鍵是利用（1）問結論構造恰當不等式．