Question

（2007•紅橋區(qū)一模）已知雙曲線C：

x2

3

-y2=1，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，過(guò)F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線，垂足為P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為A．
（Ⅰ）求

PA

•

OP

；
（Ⅱ）若直線y=kx+m（m≠0）與雙曲線C交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)B（0，-1），且|MB|=|NB|，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由FP垂直于直線l列式求出P的坐標(biāo)，然后求出對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，直接代入數(shù)量積公式求解；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，由根與系數(shù)關(guān)系求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出MN的垂直平分線方程，代入B點(diǎn)坐標(biāo)后得到直線的斜率和在y軸上的截距的關(guān)系，結(jié)合所得一元二次方程的判別式大于0求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由雙曲線C：

x2

3

-y2=1知，F(xiàn)（2，0），
第一、三象限的漸近線l：y=

3

3

x
設(shè)點(diǎn)P (x，

3

3

x)，∵FP⊥l，∴

3 3 x

x-2

•

3

3

=-1，
∴x=

3

2

，∴P(

3

2

，

3

2

)，A(

3

2

，0)

PA

=(0，-

3

2

)，

OP

=(

3

2

，

3

2

)，
∴

PA

•

OP

=-

3

4

；
（Ⅱ）由

y=km+m x2-3y2=3

得：（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M、N的中點(diǎn)為H （x₀，y₀），
則△=（6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）=12（m²+1-3k²）＞0，
x1+x2=

6km

1-3k2

，x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

，
即H（

3km

1-3k2

，

m

1-3k2

），
則線段MN的垂直平分線為：y-

m

1-3k2

=(-

1

k

)(x-

3km

1-3k2

)，
將點(diǎn)B（0，-1）的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k²-1，
則由

m2+1-3k2＞0 4m=3k2-1

，得：m²-4m＞0，解之得m＜0或m＞4，
又4m=3k²-1＞-1，所以m＞-

1

4

，
故m的取值范圍是(-

1

4

，0)∪(4，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，利用根與系數(shù)關(guān)系是解題過(guò)程中常用的方法，此題是難題．