Question

2．設點（a，b）是區(qū)間$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$內的隨機點，函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上的增函數(shù)的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 首先畫出可行域，求出面積，計算滿足函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上的增函數(shù)的a，b滿足區(qū)域的面積，利用幾何概型公式得到所求．

解答 解：點（a，b）對應的區(qū)域為邊長為4的等腰直角三角形，
面積為8，而使得
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上的增函數(shù)的a，b滿足的條件$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{4b}{2a}≤1}\end{array}\right.$，對應區(qū)域面積為$\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，
由幾何概型的公式得到所求概率為：$\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$；
故選A．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題與幾何概型的綜合考查；正確畫出區(qū)域，利用面積比求概率是關鍵．