已知函數(shù)f(x)=
1-
1
x
，
x≥1
1
x
-1，
0＜x＜1

（1）求證：f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；   
（2）當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求
1
a
+
1
b
的值．
分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明；
（2）畫出圖象即可求出．
解答：解：（1）設(shè)1≤x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=(1-
1
x1
)-(1-
1
x2
)=
1
x2
-
1
x1
=
x1-x2
x1x2
，
∵1≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，∴
x1-x2
x1x2
＜0∴f(x1)＜f(x2)，
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）∵0＜a＜b，且f（a）=f（b）
由圖可知：0＜a＜1＜b，
∴f(a)=
1
a
-1，f(b)=1-
1
b
，
由f（a）=f（b）得
1
a
-1=1-
1
b
，
∴
1
a
+
1
b
=2．
點評：熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性和正確畫出圖象是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案