已知橢圓 $數(shù)學公式$ 的左右焦點為F₁、F₂，點P為橢圓上一點，△F₁PF₂的重心、內(nèi)心分別為G、I，若 $數(shù)學公式$ ，則橢圓的離心率e等于

A.
$數(shù)學公式$
B.
$數(shù)學公式$
C.
$數(shù)學公式$
D.
$數(shù)學公式$

A
分析：在焦點△F₁PF₂中，設P（x₀，y₀），由三角形重心坐標公式，可得重心G的縱坐標，因為 $\text{[math]}$ ，故內(nèi)心I的縱坐標與G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內(nèi)心分割的三個小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可解得離心率
解答：設P（x₀，y₀），∵G為△F₁PF₂的重心，
∴G點坐標為 G（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ ，∴IG∥x軸，
∴I的縱坐標為 $\text{[math]}$ ，
在焦點△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •|F₁F₂|•|y₀|
又∵I為△F₁PF₂的內(nèi)心，∴I的縱坐標 $\text{[math]}$ 即為內(nèi)切圓半徑，
內(nèi)心I把△F₁PF₂分為三個底分別為△F₁PF₂的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）| $\text{[math]}$ |
∴ $\text{[math]}$ •|F₁F₂|•|y₀|= $\text{[math]}$ （|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）| $\text{[math]}$ |
即 $\text{[math]}$ ×2c•|y₀|= $\text{[math]}$ （2a+2c）| $\text{[math]}$ |，
∴2c=a，
∴橢圓C的離心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故選A
點評：本題考查了橢圓的標準方程和幾何意義，重心坐標公式，三角形內(nèi)心的意義及其應用，橢圓離心率的求法．解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的有關數(shù)值的關系以及結合橢圓的形狀和幾何意義兩次表達三角形的面積．

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