Question

對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D）若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱f（x）為D上的閉函數(shù)．
①f（x）在D上為單調(diào)函數(shù)；
②存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合上述條件的區(qū)間[a，b]；
（2）若f（x）=x³-3x²-9x+4，判斷f（x）是否為閉函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）通過y′＜0得出函數(shù)y=-x³為減函數(shù)．進(jìn)而通過函數(shù)的最值，求出a，b的值．
（2）通過f′（x）≥0和f′（x）≤0，分別求出x的取值范圍，看是不是符合題設(shè)的要求．符合即為閉函數(shù)．不符合則不是．

解答：解：（1）∵y=-x³，∴y′=-3x²≤0．
∴函數(shù)y=-x³為減函數(shù)．
故

f(a)=b f(b)=a

即

-3a3=b -3b3=a.

∴

a=-1 b=-1.

所求閉區(qū)間為[-1，1]．
（2）f′（x）=3x²-6x-9．
由f′（x）≥0，得x≥3或x≤-1．
由f′（x）≤0，得-1≤x≤3．
∴f（x）在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．
故f（x）不是閉函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：這是個(gè)知識(shí)遷移題，這類問題一般是考查學(xué)生的類比猜想能力、探索問題的能力．這類問題是近年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)，很能考查學(xué)生的分析問題、探索問題的潛在的能力．