Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）．直線l：y=kx+b經(jīng)過點P（-1，0）且與曲線y=f（x）相切．
（1）求切線l的方程．
（2）若關于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，求實數(shù)m的最大值．
（3）設F（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)F（x）有唯一的零點x₀，求證-1＜x₀＜-

1

2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）設切點為（x₁，y₁），求出切點坐標，即可求切線l的方程．
（2）設h（x）=1+x-ln（x+m），求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可求實數(shù)m的最大值．
（3）函數(shù)F（x）有唯一的零點x₀，可知f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）在（x₀，y₀）處有公共切線l，可得e^x₀+x₀=0，設H（x）=e^x+x，證明H（x）在（-m，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出結論．

解答： （1）解：設切點為（x₁，y₁），則
∵f（x）=e^x，∴f′（x）=e^x，
∴切線l：y-e^x₁=e^x₁（x-x₁），
P（-1，0）代入可得0-e^x₁=e^x₁（-1-x₁），
∴x₁=0，
∴切線l：y=x+1；
（2）設h（x）=1+x-ln（x+m），則h′（x）=

x+m-1

x+m

，
∴-m＜x＜1-m時，h′（x）＜0，x＞1-m時，h′（x）＞0，
∴h（x）在x=1-m時取極小值，也是最小值，
∵關于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，
∴h（1-m）=2-m≥0，
∴m≤2，
∴實數(shù)m的最大值為2．
（3）證明：由題意，方程e^x=ln（x+m）有唯一實根x₀，
即f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）有唯一交點，圖象如圖所示，

可知f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）在（x₀，y₀）處有公共切線l，
∴e^x₀=

1

x0+m

，
∴e^x₀+x₀=0，
設H（x）=e^x+x，則H′（x）=e^x+1＞0，
∴H（x）在（-m，+∞）上單調(diào)遞增，
∵H（-

1

2

）=e-

1

2

-

1

2

＞0，H（-1）=

1

e

-1＜0，
∴-1＜x₀＜-

1

2

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，正確求導是關鍵．