Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R），函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）．
（Ⅰ）若a=b=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若b=0，不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1對于任意的正數(shù)x都成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，a+b＜2

3

，且函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，試證明：對于曲線上的點A（s，f（s）），B（t，f（t）），向量

OA

與

OB

不可能垂直（O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0列出不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的遞增區(qū)間；
（Ⅱ）分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域；
（Ⅲ）用反證法來處理．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=b=1時，函數(shù)f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，∴f'（x）=3x²-4x+1
由f′（x）＞0，即3x²-4x+1＞0，解得x＜

1

3

或x＞1
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

1

3

)和（1，+∞）；
 （Ⅱ）依題意：當(dāng)b=0時，f′（x）=3x²-2ax
由于不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1對于任意的正數(shù)x都成立，則a≥

2xlnx-3x2-1

2x

恒成立．
令h(x)=

2xlnx-3x2-1

2x

，則h′(x)=

2x-3x2-1

2x2

，
由h′（x）=0，得x=1，則函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
則h（x）在x=1處取得極大值，也是最大值，且最大值為h（1）=-2
由此可得a≥-2；
（Ⅲ）（反證法）假設(shè)

OA

與

OB

垂直，則

OA

•

OB

=(s，f(s))•(t，f(t))=st+f(s)f(t)=0
所以（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²]•[st-（s+t）b+b²]=-1
由函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，即s，t是方程3x²-2（a+b）x+ab=0的兩個根，
所以s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

從而有（a²-ab）（b²-ab）=-9，即ab（a-b）²=9（0＜a＜b），
則(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，
所以a+b≥2

3

，這與a+b＜2

3

矛盾，故

OA

與

OB

不可能垂直．

點評：本題主要研究利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立問題．要求學(xué)生掌握導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)值大于0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時，函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)a≥h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最大值；當(dāng)a≤h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最小值．