Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x）（x∈R），且f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，有以下四個函數(shù)：①y=sinπx②y=cosπx③y=1-（x-2k）²，2k-1＜x≤2k+1，k∈Z④y=1+（x-2k）²，2k-1＜x≤2k+1，k∈Z其中滿足f （x）所有條件的函數(shù)序號為（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④

Answer 1

【答案】分析：先利用f（x+1）=-f（x）求得函數(shù)的周期為2；再分別看四個函數(shù)，周期為2都成立，只有利用在[0，1]上的單調(diào)性來求答案，對于①④可得其在在[0，1]上是增函數(shù)即可得結(jié)論．
解答：解：由f（x+1）=-f（x）⇒f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．即函數(shù)的周期為2．
對于①，因?yàn)閥=sinπx在Y軸右邊是先增后減，故不成立；
對于②，符合要求；
對于③，首先可得其周期為2，且當(dāng)k=0時，y=1-x²在[0，1]上是減函數(shù)，符合要求；
對于④，當(dāng)k=0時，y=1+x²在[0，1]上是增函數(shù)，不符合要求．
故符合要求的有  ②③．
故選 B．
點(diǎn)評：本題是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查．一般出選擇或填空題時，是兩條性質(zhì)綜合運(yùn)用來解題，屬于基礎(chǔ)題．