Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*都有S_n=

2

3

a_n-

1

3

，若1＜S_k＜9（k∈N^*），則k的值為

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)S_n=

2

3

a_n-

1

3

，令n=1，即可解得a₁的值，由a_n=S_n-S_n-1求出{a_n}的通項(xiàng)公式，然后求出a₁=-1，a₂=2，a₃=-4，a₄=8，a₅=-16，據(jù)此判斷k的值．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

2

3

a₁-

1

3

，可知a₁=-l，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

2

3

a_n -

1

3

-

2

3

an-1+

1

3

，可知

an

an-1

=-2，即{a_n}是等比數(shù)列，得
a_n=-1（-2）^n-1，得a₁=-1，a₂=2，a₃=-4，a₄=8，a₅=-16，因?yàn)镾₃＜0，S₄=5，S₅=-11，S₆=21，
故知k=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和和數(shù)列函數(shù)特性的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出{a_n}的通項(xiàng)公式，本題難度一般．