【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如右表：（單位：人）

幾何題

代數(shù)題

總計(jì)

男同學(xué)

22

8

30

女同學(xué)

8

12

20

總計(jì)

30

20

50


（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 X，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望 EX． 附表及公式

P（k2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2= ．

【答案】
（1）解：由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測(cè)值 ，

所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)；


（2）解：設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)? （如圖所示）

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，

∴由幾何概型 即乙比甲先解答完的概率為 ；


（3）解：由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有 種，其中甲、乙兩人沒(méi)有一個(gè)人被抽到有 種；恰有一人被抽到有 種；兩人都被抽到有 種，

∴X可能取值為0，1，2， ， ，

X的分布列為：

X

0

1

2

P

∴ ．


【解析】（1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測(cè)值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測(cè)值公式中，做出觀測(cè)值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）確定X的可能值有0，1，2．依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)f'（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（0）=1，且 ，則4f（x）＞f'（x）的解集為（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點(diǎn)，AB=4，則過(guò)B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長(zhǎng)為（ ）
A.6 +4
B.6 +2
C.3 +4
D.3 +2

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（II）求函數(shù)y=f（2x），x∈[0， ]的值域．

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A.45
B.50
C.55
D.60

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【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明其表示什么軌跡．
（2）若直線的極坐標(biāo)方程為sinθ﹣cosθ= ，求直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

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（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】某投資公司現(xiàn)提供兩種一年期投資理財(cái)方案，一年后投資盈虧的情況如表：

投資股市

獲利40%

不賠不賺

虧損20%

購(gòu)買(mǎi)基金

獲利20%

不賠不賺

虧損10%

概率P

概率P

p

q

（I）甲、乙兩人在投資顧問(wèn)的建議下分別選擇“投資股市”和“購(gòu)買(mǎi)基金”，若一年后他們中至少有一人盈利的概率大于 ，求p的取值范圍；
（II）某人現(xiàn)有10萬(wàn)元資金，決定在“投資股市”和“購(gòu)買(mǎi)基金”這兩種方案中選出一種，若購(gòu)買(mǎi)基金現(xiàn)階段分析出 ，那么選擇何種方案可使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望值較大？

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（1）求t的取值范圍；
（2）記t的最大值為T(mén)，若正實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2=T，求證： ≤ ．

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