Question

2．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）求出角的范圍結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題f（x）可化為$f（x）=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$…（3分）
所以最小正周期T=π…（4分）
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，
則$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（{k∈Z}）$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]，（{k∈Z}）$…（6分）
（2）當(dāng)x∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，$2x+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}）$，
由正弦圖象可得$\frac{1}{2}＜sin（{2x+\frac{π}{6}}）≤1$，…（10分）
所以2＜f（x）≤3
所以f（x）的值域?yàn)椋?，3]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．