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設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a、b、c均為整數，且f(0)、f(1)均為奇數，求證：方程f(x)＝0無整數根．

答案：
解析：

　　證明：假設方程f(x)＝0有一個整數根k，則

　　　　(1)

　　∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數，則a＋b必為偶數

　　當k為偶數時，令，則必為偶數，與(1)式矛盾；

　　當k為奇數時，令，則為一奇數與一偶數乘積，必為偶數，也與(1)式矛盾．

　　綜上可知方程f(x)＝0無整數根


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：浙江省杭州高中2006-2007學年度第一學期高三年級第三次月考　數學試題(文) 題型：044

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，(a，b，c∈R)滿足下列條件：

①當x∈R時，f(x)的最小值為0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立；

②當x∈(0，5)時，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．

(1)

求f(1)的值

(2)

求f(x)的解析式

(3)

求最大的實數t，使得當x∈[1，3]時，f(x＋t)≤x恒成立．

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科目：高中數學 來源：學習周報　數學　人教課標高一版(A必修2)　2009－2010學年　第26期　總182期 人教課標高一版 題型：044

設二次函數f(x)＝x2＋2x＋b的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為圓C．

(1)求實數b的取值范圍；

(2)求圓C的方程；

(3)問圓C是否經過某定點(其坐標與b無關)？若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2014屆云南省高一下學期期末數學試卷（解析版） 題型：解答題

（12分）（1）設x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求證x2＋y2＋z2≥；

（2）設二次函數f (x)＝ax2＋bx＋c （a＞0），方程f (x)－x＝0有兩個實根x1，x2，

且滿足：0＜x1＜x2＜，若x(0，x1)。

求證：x＜f (x)＜x1

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

設二次函數f(x)＝ax2＋bx+c(a＞0），方程f(x)－x＝0的兩根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜．

（1）當x∈（0，x1）時，證明x＜f(x)＜x1；

 

（2）設函數f(x)的圖象關于直線x=x0對稱；

證明：x0＜

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設二次函數f(x)＝x2+ax+a，方程f(x)-x＝0的兩根x1和x2滿足0<x1<x2<1.

（1）求實數a的取值范圍；

（2）試比較f(0)·f(1)-f(0)與的大小，并說明理由

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