Question

2．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足${S_n}=\frac{1}{2}a_n^2+\frac{n}{2}（n∈{N^*}）$．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃的值，并猜想{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列a₁，a₂，a₃的值，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，逐步證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}a_1^2+\frac{1}{2}$，
得a₁=1；${a_1}+{a_2}={S_2}=\frac{1}{2}a_2^2+1$，得a₂=2，
${a_1}+{a_2}+{a_3}={S_3}=\frac{1}{2}a_3^2+\frac{3}{2}$，得a₃=3，
猜想a_n=n．
（2）證明：（�。┊�(dāng)n=1時，顯然成立，
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時，a_k=k，
則當(dāng)n=k+1時，${a_{k+1}}={S_{k+1}}-{S_k}=\frac{1}{2}a_{k+1}^2+\frac{k+1}{2}-（\frac{1}{2}a_k^2+\frac{k}{2}）$=$\frac{1}{2}a_{k+1}^2+\frac{k+1}{2}-（\frac{1}{2}{k^2}+\frac{k}{2}）$，
整理得：$a_{k+1}^2-2{a_{k+1}}-{k^2}+1=0$，即[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
結(jié)合a_n＞0，解得a_k+1=k+1，
于是對于一切的自然數(shù)n∈N^*，都有a_n=n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．