Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長AA₁=2．
（1）E為棱CC₁的中點，求證：B₁D₁⊥AE；   
（2）求二面角C-AE-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征得到A₁C₁是AE在平面A₁C₁上的射影，進而根據(jù)三垂線定理得到B₁D₁⊥AE．
（2）連接BD交AC于O，過B點作BF⊥AE交AE于F，連接OF，可得∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，根據(jù)相似三角形性質(zhì)求出OF后，解三角形BOF即可，得到二面角B-AE-C的平面角

解答：證明：（1）連接A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁C₁，
∴A₁C₁是AE在平面A₁C₁上的射影，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁
∴B₁D₁⊥AE
解：（2）連接BD交AC于O，過B點作BF⊥AE交AE于F，連接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，BO=AO=

1

2

AC=

2

在Rt△ACE中，AE=3，
∵△AOF∽△AEC，
∴

OA

OF

=

AE

EC

∴OF=

OA•EC

AE

=

2

3

在Rt△BOF中，tan∠BFO=

OB

OF

=3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到平面的距離，線線垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是用三垂線定理證明線線垂直，（2）的關(guān)鍵是確定∠BFO是二面角B-AE-C的平面角．