Question

考察等式：C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r（*）其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同學(xué)用概率論方法證明等式（*）如下：設(shè)一批產(chǎn)品共有n件，其中m件是次品，其余為正品．現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品，記事件A_k={取到的件產(chǎn)品中恰有件次品}，則，k=0，1，…，r．顯然A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=，所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．對(duì)此，有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一；但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑．現(xiàn)有以下四個(gè)判斷：
①等式（*）成立；②等式（*）不成立③證明正確；④證明不正確
試寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)________．

Answer 1

①③
分析：構(gòu)造概率模型，從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品，記事件A_k={取到的產(chǎn)品中恰有k件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根據(jù)A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），即可判斷．
解答：設(shè)一批產(chǎn)品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件為正品．
現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品，記事件A_k={取到的產(chǎn)品中恰有k件次品}，則取到的產(chǎn)品中恰有k件次品共有種情況，又從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品，共有種情況，k=0，1，…，r，故其概率為，k=0，1，…，r．
∵A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=，
所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．
從而可知正確的序號(hào)為：①③
故答案為：①③
點(diǎn)評(píng)：本題以概率為依托，證明組合中的等式問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，題目新穎．