Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°．
（Ⅰ）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離，
（Ⅱ）求面APB與面CPB所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O，連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE，由已知得AD⊥OB，PE⊥AD，知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，從而∠PEB=120°，∠PEO=60°，由此能求出點(diǎn)P到平面ABCD的距離．
（2）取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EG、AG、GF，由已知得∠AGF是所求二面角的平面角，由此能求出面APB與面CPB所成二面角的余弦值．

解答： 解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O
連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD
由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=

3

，
∴PO=PE•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴點(diǎn)P到平面ABCD的距離為

3

2

．
（2）如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EG、AG、GF，
則AG⊥PB，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC，
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，F(xiàn)G⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°
在Rt△PEG中，EG=PE•cos60°=

3

2

，
又AE=

1

2

AD=1，AG=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
于是cosn∠GAE=

EG

AG

=

3 2

7 2

=

21

7

，
又∠AGF=π-∠GAE
∴cos∠AGF=-

21

7

．
∴面APB與面CPB所成二面角的余弦值為-

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，涉及到線面垂直、二面角、點(diǎn)到平面距離、線面角等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．