Question

設(shè)f（x）=，其中a∈R，如果當(dāng)x∈（-∞，1）時，f（x）有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

解：當(dāng)a=0時，真數(shù)恒大于0，成立；
當(dāng)a≠0時，
x＜1，0＜2^x≤2¹=2
設(shè)b=2^x，
則4^x=b²，0＜b≤2，
＞0，
即ab²+b+1＞0，
a（b+）²-+1＞0，
當(dāng)0＜b≤2時成立，
當(dāng)-≤0，a＞0時，
則a（b+）²-+1開口向上，-≤0＜b≤2，
∴二次函數(shù)是增函數(shù)，
∴f（b）=a（b+）²-+1＞f（0）=1＞0，成立．
當(dāng)0＜-≤1，a≤-時，
則a（b+）²-+1開口向下，
且b=2時有最小值
∴f（2）=4a+3＞0，a＞-，
∴-＜a≤-．
當(dāng)1＜-≤2，-＜a≤-時，
則a（b+）²-+1開口向下，
且b=0時有最小值，但b不取0
∴f（0）=1＞0，成立．
-＜a≤-．
當(dāng)-＞2，-時，
則a（b+）²-+1開口向下，
0＜b≤2＜-，
∴f（b）是增函數(shù)
∴f（b）＞f（0）=1＞0，成立
∴-＜a＜0．
綜上所述：a＞-．
分析：當(dāng)a=0時，真數(shù)恒大于0，成立；當(dāng)a≠0時，x＜1，0＜2^x≤2¹=2，設(shè)b=2^x，則4^x=b²，0＜b≤2，＞0，即ab²+b+1＞0，所以a（b+）²-+1＞0．由此進行分類討論，能夠求出a的取值范圍．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用，綜合性強，難度較大．解題時要認真審題，注意換元思想、整體思想和分類討論思想的靈活運用．易錯點是分類不清，考慮不全，造成“會而不對，對而不全”的錯誤．