Question

曲線y=2e^-x在點(x0，

2

e

)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（　�。�

• A．

  1

  2

  e2
• B．

  1

  e

• C．e²
• D．

  4

  e

Answer 1

分析：欲求切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積的大小，只須求出其斜率得到切線的方程即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=x₀處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答：解：∵y=2e^-x，∴y′=-2e^-x，
∵曲線y=2e^-x過(x0，

2

e

)，∴2e-x0=

2

e

，解得x₀=1．
k=y′|_x=1=-2e^-1=-

2

e

．
∴曲線y=2e^-x在點(x0，

2

e

)處的切線方程為：y-

2

e

=-

2

e

（x-1），
整理，得y=-

2

e

x+

4

e

．
∵y=-

2

e

x+

4

e

與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為（0，

4

e

），（2，0），
∴曲線y=2e^-x在點(x0，

2

e

)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為：
S=

1

2

×

4

e

×2=

4

e

．
故選D．

點評：本小題主要考查直線的方程、三角形的面積、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．