Question

已知向量a與b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：(反證法)假設(shè)a＋b與a－b平行． 　　若a＝b，則a與b平行，與已知矛盾． 　　若a≠b，則a－b≠0，故存在λ∈R，使a＋b＝λ(a－b)，得 　　(1＋λ)b＝(λ－1)a． 　　當(dāng)λ＝1時(shí)，得0·a＝2·b＝0，則b＝0與a平行，與已知矛盾． 　　當(dāng)λ≠1時(shí)，則a＝·b，也有a∥b，與已知矛盾． 　　綜上所述，可知a＋b與a－b不平行． 　　證法2：(坐標(biāo)運(yùn)算)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 　　∵ab，∴x1y2≠x2y1． 　　∵a＋b＝(x1＋x2，y1－y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 　　∴(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2) 　�。剑瓁1y2＋y1x2＋x2y1－x1y2 　　＝2(x2y1－x1y2)≠0． 　　∴a＋b與a－b不平行． 　　證法3：(幾何法)如下圖，因?yàn)?B>a與b不平行，按照平行四邊形法則知，a＋b與a－b對(duì)應(yīng)著平行四邊形ACBO的兩條對(duì)角線、，顯然它們不平行． 　　點(diǎn)評(píng)：向量的表示方法有字母形式、坐標(biāo)形式、幾何形式，以上三種證法體現(xiàn)了這三種不同形式的特點(diǎn)．