（2013•綿陽(yáng)二模）已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
3
，且
AB
•
BC
=6，
AB
與
BC
的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．
分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積、三角形的面積公式和正切函數(shù)的單調(diào)性即可求出；
（Ⅱ）利用三角恒等變形及三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出．
解答：解：（I）由題意知
AB
•
BC
=|
AB
||
BC
|cosθ=6．
S=
1
2
|
AB
| |
BC
|sin(π-θ)=
1
2
|
AB
| |
BC
|sinθ
=
1
2
|
AB
| |
BC
|cosθtanθ
=
1
2
×6tanθ=3tanθ．
∵3≤S≤3
3
，
∴3≤3tanθ≤3
3
，∴1≤tanθ≤
3
．
又∵θ∈[0，π]，∴
π
4
≤θ≤
π
3
．
（II）∵f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ=2+
2
sin(2θ+
π
4
)．
∵θ∈[
π
4
，
π
3
]
，∴(2θ+
π
4
)∈[
3π
4
，
11π
12
]．
∵y=sinx在[
π
2
，π]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)2θ+
π
4
=
3π
4
，即θ=
π
4
時(shí)，sin(2θ+
π
4
)取得最大值
2
2
，
∴f（θ）的最大值為2+
2
×
2
2
=3．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•綿陽(yáng)二模）我們把離心率之差的絕對(duì)值小于
1
2
的兩條雙曲線稱為“相近雙曲線”．已知雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1與雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1是“相近雙曲線”，則
n
m
的取值范圍是
[
4
21
，
4
5
]∪[
5
4
，
21
4
]
[
4
21
，
4
5
]∪[
5
4
，
21
4
]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•綿陽(yáng)二模）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•綿陽(yáng)二模）已知函數(shù)f（x）=
13
x3-2x2+3x（x∈R）的圖象為曲線C．
（1）求曲線C上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍；
（2）若曲線C上存在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍；
（3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•綿陽(yáng)二模）若loga（a2+1）＜loga2a＜0，則a的取值范圍是（　　）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案