Question

已知橢圓C₁的方程為，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C₁交于不同的兩點A、B，且滿足|OA|²+|OB|²＞|AB|²，（其中O為原點），求l斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出雙曲線的標準方程，根據根據橢圓方程求得雙曲線的左右頂點和焦點，進而求得雙曲線方程中的a和b，則雙曲線方程可得．
（2）將直線代入雙曲線方程消去y，進而根據判別式求得k的范圍，設出A，B的坐標，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，由|OA|²+|OB|²＞|AB|²，可得∠AOB為銳角，從而有•＞0求得關于k的不等式，求得k的范圍，最后綜合求得答案．
解答：解：（1）∵橢圓C₁的方程為左、右頂點分別為（2，0），（-2，0），左、右焦點分別為（），
可設C₂的方程為，則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1．
故C₂的方程為．
（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx-2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，消去y，整理得：
∴
一會
由得：或
∵|OA|²+|OB|²＞|AB|²，
∴0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴
即
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4==
∵，即k²＜4
∴-2＜k＜2
故由①、②得或
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，是高考的熱點．