已知二次函數(shù)y=g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增,最小值為m-1(m≠0),且y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,設(shè)f(x)=
g(x)
x

(Ⅰ)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,-2)的距離的最小值為
2
,求m的值;
(Ⅱ)若m=1,方程f(2x)-k•2x=0在x∈[-1,1]上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的范圍.
分析:(Ⅰ)根據(jù)二次函數(shù)y=g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增,最小值為m-1(m≠0),可知函數(shù)在x=1時(shí)有最小值,為m-1這樣,就可設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式,根據(jù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,求出a的值,把f(x)化簡(jiǎn),用兩點(diǎn)間的距離公式求出|PQ|,用含m的式子表示,根據(jù)|PQ|的最小值為
2
,求m的值.
(2)先把方程f(2x)-k•2x=0化簡(jiǎn)為2x+
1
2x
-2=k•2x
1+(
1
2x
)2-2
1
2x
=k
,分離k與x,把
1
2x
=t
看做一個(gè)整體,1+(
1
2x
)
2
-2
1
2x
就可看作關(guān)于
1
2x
=t
的二次函數(shù),判斷此函數(shù)的單調(diào)性,求出值域,m=1,方程f(2x)-k•2x=0在x∈[-1,1]上有實(shí)數(shù)解,則k的值應(yīng)該在二次函數(shù)的值域中.據(jù)此解出k的范圍.
解答:解:(Ⅰ)依題可設(shè)g(x)=a(x-1)2+m-1(a≠0),則g'(x)=2a(x-1)=2ax-2a;
又g′(x)的圖象與直線y=2x平行∴2a=2,a=1  
∴g(x)=(x-1)2+m+1=x2-2x+m,f(x)=
g(x)
x
=x+
m
x
-2
,
設(shè)P(x0,y0),則|PQ|2=x02+(y0+2)2=x02+(x0+
m
x0
)2

=2
x
2
0
+
m2
x
2
0
+2m≥2
2m2
+2m=2
2
|m|+2m

當(dāng)且僅當(dāng)2
x
2
0
=
m2
x
2
0
時(shí),|PQ|2取得最小值,即|PQ|取得最小值
2

當(dāng)m>0時(shí),
(2
2
+2)m
=
2
   解得m=
2
-1
m=
2
-1

當(dāng)m<0時(shí),
(-2
2
+2)m
=
2
  解得m=-
2
-1
            
(Ⅱ)m=1,方程f(2x)-k•2x=0化為2x+
1
2x
-2=k•2x
1+(
1
2x
)2-2
1
2x
=k
,
1
2x
=t
,k=t2-2t+1
∵x∈[-1,1]∴t∈[
1
2
,2]
記∅(t)=t2-2t+1
∴∅(t)在t∈[
1
2
,1]
上單調(diào)遞減,在t∈[1,2]上單調(diào)遞增,
?(
1
2
)=(1-
1
2
)2=
1
4

∅(2)=(2-1)2=1F(1)=(1-1)2=0
根據(jù)題意 方程k=t2-2t+1在t∈[
1
2
,2]
內(nèi)有實(shí)數(shù)解,∴0≤k≤1
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用函數(shù)單調(diào)性求值域,以及一元二次方程根的分布的判斷.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,且y=g(x)在x=-1處取得極小值m-1(m≠0).設(shè)f(x)=
g(x)
x

(1)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為
2
,求m的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)y=f(x)-kx存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).

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g(x)
x
.若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為
2
,求m的值.

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(2011•惠州模擬)已知二次函數(shù)y=g(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)、A(m,0)與點(diǎn)P(m+1,m+1),設(shè)函數(shù)f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b處取到極值,其中m>n>0,b<a.
(1)求g(x)的二次項(xiàng)系數(shù)k的值;
(2)比較a,b,m,n的大。ㄒ蟀磸男〉酱笈帕校;
(3)若m+n≤2,且過(guò)原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f(x)均相切,求y=f(x).

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g(x)
x

(Ⅰ)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,-2)的距離的最小值為
2
,求m的值;
(Ⅱ)若m=1,方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0
有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的范圍.

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