Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．現(xiàn)有四個函數(shù)：①f（x）=e^x；②f（x）=x²③④f（x）=lnx．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進行判斷，即可得到答案．
解答：①對于函數(shù)f（x）=e^x 若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有兩個解，即y=e^x和y=x的圖象有兩個交點，這與即y=e^x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
②對于函數(shù)f（x）=x²存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x² ∈[0，1]．
③對于函數(shù)f（x）=cosx，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]為函數(shù)f（x）=cosx的“穩(wěn)定區(qū)間”；
④對于 f（x）=lnx，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有l(wèi)na=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有兩個解，
即y=lnx 和 y=x的圖象有兩個交點，這與y=lnx 和 y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故④不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
∴存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)為2
故選B
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說明一個函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新題．