Question

（2012•泉州模擬）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，則“f（2）≥0”是“函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增”的（　�。�

A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：當(dāng)a＜0時(shí)，-

b

2a

≤1，對(duì)應(yīng)的拋物線開口向下，可推得函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，即不能由f（2）≥0，推得函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；但可由函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增推得f（2）≥0，由充要條件的定義可得答案．

解答：解：二次函數(shù)f（x）=ax²+bx必過(guò)原點(diǎn)，由f（2）≥0得，4a+2b≥0，
當(dāng)a＞0時(shí)，-

b

2a

≤1，對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，可推得函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
但，當(dāng)a＜0時(shí)，-

b

2a

≤1，對(duì)應(yīng)的拋物線開口向下，可推得函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減．
故不能由f（2）≥0，推得函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增．
反之，若函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，則必有a＞0，
由數(shù)形結(jié)合可知，對(duì)稱軸x=-

b

2a

≤1，即可得-b≤2a，即4a+2b≥0，即f（2）≥0，
故由充要條件的定義可知，f（2）≥0是函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增的必要不充分條件．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題為充要條件的判斷，正確把握二次函數(shù)的單調(diào)性與開口復(fù)方向以及對(duì)稱軸的關(guān)系式解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．