Question

（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于D．
（Ⅰ）證明：DB=DC；
（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=

3

，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（I）連接DE交BC于點G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分線可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE為⊙O的直徑，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性質(zhì)即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分線，即可得到BG=

3

2

．設(shè)DE的中點為O，連接BO，可得∠BOG=60°．從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．進而得到Rt△BCF的外接圓的半徑=

1

2

BC．

解答：（I）證明：連接DE交BC于點G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE為⊙O的直徑，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分線，∴BG=

3

2

．
設(shè)DE的中點為O，連接BO，則∠BOG=60°．
從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圓的半徑=

3

2

．

點評：本題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等、三角形的外接圓的半徑等知識，需要較強的推理能力、分析問題和解決問題的能力．