Question

已知函數(shù)f（x）=a-2^|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=

f(x)   ，  x＞0 -f(x) ，    x＜0

 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是

 

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Answer 1

分析：根據(jù)已知求出F（x）與|f（x）|的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)相等的定義可判斷①；判斷出函數(shù)F（x）的奇偶性，可判斷②；若mn＜0，m+n＞0，可得m，n異號(hào)且正數(shù)的絕對(duì)值較大，代入F（m）+F（n）判斷符號(hào)，可判斷③

解答：解：∵F（x）=

f(x)   ，  x＞0 -f(x) ，    x＜0

=

a-2x+1，x＞0 -a+2-x-1，x＜0

|f（x）|=|a-2^|x|+1|
兩個(gè)函數(shù)的解析式不同，故①錯(cuò)誤；
∵函數(shù)F（x）的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
且F（-x）=

-a+2x-1，x＞0 a-2x+1，x＜0

=-F（x）
故函數(shù)F（x）是奇函數(shù)，故②正確；
∵mn＜0，m+n＞0，
故m，n異號(hào)，
若m＞0，則n＜0，且|m|＞|n|
則F（m）+F（n）=a-2^m+1-a+2ⁿ-1=2ⁿ-2^m＜0
同理可證m＜0時(shí)，F(xiàn)（m）+F（n）＜0成立
故③正確
故正確的命題有：②③
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)相等，函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式等問(wèn)題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．