Question

已知奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），給出以下命題：①函數f（x）是周期為2的周期函數；②函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；③函數f（x）的圖象關于點（k，0）（k∈Z）對稱；④若函數f（x）是（0，1）上的增函數，則f（x）是（3，5）上的增函數，其中正確命題的番號是（ ）
A．①③
B．②③
C．①③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：由f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x）可得周期為2；由f（1+x）=-f（1-x）可得圖象關于點（1，0）對稱，再由奇函數可得圖象關于點（k，0）對稱，故直線x=1不可能是對稱軸；由周期為2可知，函數f（x）是（0，1）上的增函數僅可推得f（x）在（4，5）上為增函數．
解答：解：①因為奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（x-l），所以f（1+x）=-f（1-x）
所以f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），故周期為2，故①正確；
③由奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（x-l），還可得f（1+x）=-f（1-x），
即函數的圖象關于點（1，0）對稱，又奇函數圖象關于（0，0）對稱，再由周期為2，
可得函數f（x）的圖象關于點（k，0）（k∈Z）對稱，故③正確；
②由③可知圖象關于點（1，0）對稱，故直線x=1不可能是對稱軸，故②錯誤；
④若函數f（x）是（0，1）上的增函數，由周期為2可知，
f（x）在（4，5）上為增函數，不能推出在（3，5）上的增函數，故④錯誤．
故選A
點評：本題為命題真假的判斷，正確推出函數的性質是解決問題的關鍵，屬基礎題．