Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1 ， x2 ， 證明：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；

即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；

（解法一）轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

如右圖．

可見，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．

令切點(diǎn)A（x0，lnx0），

故k=y′|x=x0= ，又k= ，

故 = ，

解得，x0=e，

故k= ，

故0＜a＜ ．

（解法二）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）= 與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

又g′（x）= ，

即0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，x＞e時(shí)，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減．

故g（x）極大=g（e）= ；

又g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時(shí)，g（x）→0，

故g（x）的草圖如右圖，

可見，要想函數(shù)g（x）= 與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

只須0＜a＜ ．

（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

而g′（x）= ﹣ax= （x＞0），

若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，

此時(shí)g（x）不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn)．

若a＞0，在0＜x＜ 時(shí)，g′（x）＞0，在x＞ 時(shí)，g′（x）＜0，

所以g（x）在（0， ）上單調(diào)增，在（ ，+∞）上單調(diào)減，從而g（x）極大=g（ ）=ln ﹣1，

又因?yàn)樵趚→0時(shí)，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，

于是只須：g（x）極大＞0，即ln ﹣1＞0，所以0＜a＜ ．

綜上所述，0＜a＜ ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2，

設(shè)x1＞x2，作差得ln =a（x1﹣x2），即a=

原不等式 等價(jià)于ln ＞ ，

令 ，則t＞1， ，

設(shè) ， ，

∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（t）＞g（1）=0，

即不等式 成立，

故所證不等式 成立．

【解析】（Ⅰ）將函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)在（0，+∞）有兩個(gè)不同根進(jìn)行解題；（Ⅱ）將問(wèn)題變?yōu)閷?duì)函數(shù)增減性的證明，可以先從所要證的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行分析，進(jìn)而證明.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．