Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，其中一條準(zhǔn)線方程為，且與橢圓有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，C是直線L₁：y=mx+6上任一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)不共線）試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得：，則a²=3，b²=9，從而可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，從而可得k的范圍．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求滿足條件的實(shí)數(shù)k；
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，從而可得k的范圍．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，由題意知：A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線L₁對(duì)稱，從而可求則AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并滿足直線L₁的方程，故可求滿足條件的實(shí)數(shù)k．
解答：解：（1）由已知得：，則a²=3，b²=9，
因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．---（4分）
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）
將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，
則由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：，---（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，
由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，---（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3，
則，即k=±1滿足條件．---（12分）
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）
將y=kx+3代入得（3-k²）x²-6kx-18=0，
則由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：，---（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)根，
由題意知：A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線L₁對(duì)稱，---（9分）
則AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
并滿足直線L₁的方程，則k=±1滿足條件．---（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．