Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n+1=(

1

2

)n（n∈N^*），記T_2n為{a_n}的前2n項的和．
（1）設b_n=a_2n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求T_2n；
（3）不等式64•T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）對于一切n∈N^*恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b_n=a_2n，a_n•a_n+1=(

1

2

)n，作商，利用等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知，bn=(

1

2

)n，根據(jù)b_n=a_2n，可得數(shù)列的通項，從而可求數(shù)列的和；
（3）64•T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）即得64•3[1-(

1

2

)n]•

1

2n

≤3（1-k•

1

2n

），分離參數(shù)，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵b_n=a_2n，a_n•a_n+1=(

1

2

)n
∴

bn+1

bn

=

a2n+2

a2n

=

a2n+1a2n+2

a2na2n+1

=

1

2

-------------------------3f
所以{b_n}是以b₁=

1

2

為首項，公比為

1

2

的等比數(shù)列．----------------------------4f
（2）解：由（1）知，bn=(

1

2

)n，
當n=2k（k∈N^*）時，an=a2k=bk=(

1

2

)k；------------------------------5f
當n=2k-1（k∈N^*）時，an=a2k-1=(

1

2

)k-1-----6f
即an=

( 1 2 ) n-1 2 ，n為正奇數(shù) ( 1 2 ) n 2 ，n為正偶數(shù)

--------------------------------------------7f
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=3[1-(

1

2

)n]------9f
（3）解：由（2），64•T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）即得64•3[1-(

1

2

)n]•

1

2n

≤3（1-k•

1

2n

）------10f
所以k≤2n+

64

2n

-64-------------------------------------------------11f
因2n+

64

2n

-64≥16-64=-48（當n=3時等號成立）---------------13f
即所求的k的最大值為-48．------------------------------------------------14f

點評：本題考查等比數(shù)列的定義，考查數(shù)列的通項與求和，考查分離參數(shù)法的運用，考查基本不等式求最值，屬于中檔題．