Question

在面積為1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=-2．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)tanM=，tanα=tg（π-∠MNP）=2，得直線PM和PN的直線方程，將此二方程聯(lián)立解得x和y，可知點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)，|MN|=2c，MN上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式表示出出△MNP的面積求得c，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．由兩點(diǎn)間的距離公式求得|PM|和|PN|，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．
解答：解：如圖，以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程為，
焦點(diǎn)為M（-c，0），N（c，0）．
由tgM=，tanα=tg（π-∠MNP）=2，
得直線PM和直線PN的方程分別為y=（x+c）和y=2（x-c）．
將此二方程聯(lián)立，解得x=c，y=c，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（c，c）．
在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，故
由題設(shè)條件S_△MNP=1，∴c=，即P點(diǎn)坐標(biāo)為．
由兩點(diǎn)間的距離公式，．
得．
又b²=a²-c²=，
故所求橢圓方程為．
點(diǎn)評：本題主要考查坐標(biāo)系、橢圓的概念和性質(zhì)、直線方程以及綜合應(yīng)用能力．