Question

將數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，寫(xiě)出圖中第5行第5個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f（1）=n²，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)T_m為第m行所有項(xiàng)的和，在（II）的條件下，用含m的代數(shù)式表示T_m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用條件求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，再判斷出第5行第5個(gè)數(shù)是數(shù)列{a_n}的第15項(xiàng)即可．
（Ⅱ）由f（1）=n²?a₁+a₂+a₃++a_n=n²．就是已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)公式．代a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）最后檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立即可．
（III）由（Ⅱ）知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．且第m行所有項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的首項(xiàng)為m²-m+1，公差為2的等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的求和公式即可．

解答：解：（Ⅰ）由題求得a_n=1+2（n-1）=2n-1，
又因?yàn)榈?行第5個(gè)數(shù)是數(shù)列{a_n}的第15個(gè)項(xiàng)，
所以第5行第5個(gè)數(shù)是29．（2分）
（II）由f（1）=n²，得a₁+a₂+a₃++a_n=n²．（3分）
設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
∴S_n=n²．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，（5分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（6分）
又當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=1=a₁，
∴a_n=2n-1（n=1，2，）．（8分）
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n-1．
（III）由（II）知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（9分）
∵前m-1行共有項(xiàng)1+2+3++(m-1)=

1+(m-1)

2

×(m-1)=

m2-m

2

，
∴第m行的第一項(xiàng)為a

m2-m

2

+1=2×(

m2-m

2

+1)-1=m2-m+1．（11分）
∴第m行構(gòu)成首項(xiàng)為m²-m+1，公差為2的等差數(shù)列，且有m項(xiàng)．
∴Tm=(m2-m+1)×m+

m(m-1)

2

×2=m3．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考查．且考查了已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．