Question

已知MA，MB是曲線C：y=的兩條切線，其中A，B是切點(diǎn)，
（I）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（II）若直線AB過(guò)曲線C的焦點(diǎn)F，求△MAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）對(duì)曲線C，進(jìn)行求導(dǎo)，求出直線MA的方程和直線MB的方程，只要證明點(diǎn)M的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為A、B橫坐標(biāo)的一般即可；
（II）將直線AB與曲線C聯(lián)立，求出AB的長(zhǎng)，得M的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，求出點(diǎn)M到直線AB的距離，求出△MAB面積關(guān)于k的表達(dá)式；
解答：解：（I）證明：y′=x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
直線MA的方程為y-y₁=x₁（x-x₁）①，直線MB的方程為y-y₂=x₂（x-x₂）②，
①-②得：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=，所以點(diǎn)A，M，B的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，
（II）焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），顯然直線AB的斜率是存在的；
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1
將直線AB的方程代入y=x²得：x²-4kx-4=0（△＞0）
|AB|=4（1+k²），且x_M=2k，又由①②得：y_M=x₁x₂=-1，
從而點(diǎn)M到直線AB的距離d=2，
S_△MAB=4≥4  當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)；
故△MAB面積的最小值為4；
點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，第二問(wèn)難度比較大，需要聯(lián)立方程，計(jì)算量比較大，同學(xué)們要認(rèn)真進(jìn)行計(jì)算，此題難度中等；