Question

22、已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，m∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求m的值；
（2）當m≤0 時，討論函數(shù)f（x） 的單調(diào)性；
（3）求證：當 m=-2時，對任意的₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x 2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)思想,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意，f′（2）=0，求出m的值；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），討論m的值，當f′（x）＞0時，f（x）增，f'（x）＜0時，f（x）減；
（3）m=-2時，由函數(shù)f（x），構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，利用導數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，
得出f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，從而得出結(jié)論

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，m∈R，
∴f′（x）=x-

m

x

+m-1，
又∵函數(shù) f（x）在x=2處有極值，
∴f′（2）=2-

m

2

+m-1=0，
解得m=-2；
（2）∵f′（x）=x-

m

x

+m-1=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

，
∴①當-1＜m≤0時，若x∈（0，-m）時，則f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當x∈（-m，1）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
②當m=-1時，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
③當m＜-1，即-m＞1時，x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當x∈（1，-m）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當x∈（-m，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
（3）當m=-2時，函數(shù)f（x）=

1

2

x2+2lnx-3x，
構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，并求導得：
g'（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

，
∴g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴對任意0＜x₁＜x₂，都有g(shù)（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂；
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．（14分）

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系，也考查了構(gòu)造函數(shù)與轉(zhuǎn)化思想，是綜合題目．