Question

9．已知拋物線y²=8x的一條弦AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，D為線段OB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)C，使|OA|=|AC|，過(guò)C，D向y軸作垂線，垂足分別為E，G，則|EG|的最小值為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線y²=8x，可得y²-8my-8=0，|EG|=$\frac{1}{2}$y₂-2y₁=$\frac{1}{2}$y₂+$\frac{16}{{y}_{2}}$，利用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線y²=8x，可得y²-8my-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8，
∴|EG|=$\frac{1}{2}$y₂-2y₁=$\frac{1}{2}$y₂+$\frac{16}{{y}_{2}}$≥4$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)y₂=4$\sqrt{2}$時(shí)，取等號(hào)，即|EG|的最小值為4$\sqrt{2}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查|EG|的最小值的求法，具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．