Question

已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，點(diǎn)O是△ABC的外心，且，則λ+μ=    ．

Answer 1

【答案】分析：建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求λ和μ的值．
解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （3，0），C（-1，），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線 m：x= 上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點(diǎn)（-，），AC的斜率為tan120°=-，
∴中垂線n的方程為 y-=（x+）．
把直線 m和n 的方程聯(lián)立方程組，
解得△ABC的外心O（，），
由條件，
得（，）=λ（3，0）+μ（-1，）=（3λ-μ，），
∴，解得λ=，μ=，
∴λ+μ=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．