已知函數(shù)f（x）=log數(shù)學公式（ax2+3x+a+1）
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）對于x∈[1，2]，不等式（數(shù)學公式）f（x）-3x≥2恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）當a=-1時，函數(shù)f（x）=log（-x2+3x）的定義域為（0，3），
令t=-x2+3x，則f（x）=logt，且-0＜x＜3．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)t在（0，]上是增函數(shù)，在[，3）上是減函數(shù)．
再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[，3），減區(qū)間為（0，]．
由于當x=時，函數(shù)t取得最大值為，故函數(shù)f（x）的最小值為=2．
（2）對于x∈[1，2]，不等式（）f（x）-3x≥2恒成立，
即 ax2+a-1≥0恒成立，即a≥恒成立．
由于函數(shù)t=在[1，2]上是減函數(shù)，故當x=1時，函數(shù)t=在[1，2]上取得最大值為，
故a≥，即正實數(shù)a的取值范圍為[，+∞）．
分析：（1）先求得函數(shù)的定義域為（0，3），令t=-x2+3x，則f（x）=logt，且0＜x＜3．由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的單調(diào)性，再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)t的最大值，可得函數(shù)f（x）的最小值．
（2）由題意可得對于x∈[1，2]，即 ax2+a-1≥0恒成立，即a≥恒成立．利用單調(diào)性求得函數(shù)t=在[1，2]上取得最大值，可得正實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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