Question

已知函數(shù)f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0，x＞0)．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)；
（2）當a=

2

5

時，求函數(shù)在[

1

2

，2)上的最值；
（3）函數(shù)f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)，利用定義證明任意x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₂）＞f（x₁）
（2）結合（1）考查函數(shù)的單調性．利用單調性判斷函數(shù)的值域
（3）由

1

a

-

1

x

≥3，可得

1

a

≥

1

x

+3在[1，2]上恒成立，構造函數(shù)g(x)=

1

x

+3，通過研究函數(shù)g（x）在[1，2]上單調性，從而求函數(shù)的最大值，而a≥g（x）_max，從而可求a

解答：解：（1）證明：設x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），則x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．（1分）
∵f（x₂）-f（x₁）═(

1

a

-

1

x2

)-(

1

a

-

1

x1

)=

x2-x1

x2x1

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．（3分）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)．（4分）
（2）當a=

2

5

時，f(x)=

5

2

-

1

x

(x＞0)；
由（1）知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)．（5分）
∴

1

2

≤f(x)＜2（7分）
∴f（x）的最小值為

1

2

，此時x=

1

2

；無最大值．（8分）
（3）依題意，

1

a

-

1

x

≥3，即

1

a

≥

1

x

+3在[1，2]上恒成立．
∵函數(shù)g(x)=

1

x

+3在[1，2]上單調遞減，∴g（x）_max=4（11分）
∴

1

a

≥4，又a＞0．∴0＜a≤

1

4

，a的取值范圍是(0，

1

4

]．（14分）

點評：本題主要考查了利用定義法證明函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的單調性求解函數(shù)的最值（或值域），函數(shù)的恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉化思想在解題中的應用．